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PASSE 2021 · 3ª etapa · Questão 26

Matemática · Polinômios

Um polinômio P(x)P(x), de coeficientes reais e de menor grau possível, tem 2+i2 + i e 1 como duas de suas raízes. Se o coeficiente de seu termo dominante é igual a 2, então P(−1)P(-1) é igual a:

  1. A40.
  2. B8.
  3. C−10-10.
  4. D−40-40.
  5. E−102-102.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

Resposta: (D) −40-40.

A ideia: coeficientes reais: se 2+i2 + i é raiz, 2−i2 - i também. Menor grau: 3.

Resolução. (x−(2+i))(x−(2−i))=x2−4x+5(x - (2 + i))(x - (2 - i)) = x^2 - 4x + 5.

P(x)=2(x−1)(x2−4x+5)P(x) = 2(x - 1)(x^2 - 4x + 5).

P(−1)=2⋅(−2)⋅(1+4+5)=−40P(-1) = 2 \cdot (-2) \cdot (1 + 4 + 5) = -40.

Onde a galera erra: esquecer a raiz conjugada e montar um polinômio de grau 2.

Leve para a prova: par conjugado a±bia \pm bi gera o fator x2−2ax+(a2+b2)x^2 - 2ax + (a^2 + b^2).

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