Provas resolvidas › PASSE 2021 · 3ª etapa

PASSE 2021 · 3ª etapa · Questão 27

Matemática · Geometria espacial

Um poliedro regular de 6 arestas de comprimento iguais a $4\sqrt{6}$ cm e 4 vértices circunscreve uma esfera. Sendo $V_P$ e $V_E$ , respectivamente, os volumes do poliedro e da esfera, então a razão $V_P/V_E$ resulta em:

A $\dfrac{2\sqrt{3}}{\pi}$ .
B $\dfrac{4\sqrt{3}}{\pi}$ .
C $\dfrac{6\sqrt{3}}{\pi}$ .
D $\dfrac{6\sqrt{2}}{\pi}$ .
E $\dfrac{8\sqrt{2}}{\pi}$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) $\dfrac{6\sqrt{3}}{\pi}$ .

A ideia: poliedro regular com 4 vértices e 6 arestas: tetraedro regular. A esfera inscrita tem raio $\frac{a\sqrt{6}}{12}$ (um quarto da altura).

Resolução. $a = 4\sqrt{6}$ .

Tetraedro: $V_P = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12} = \dfrac{384\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{12} = 32\sqrt{12} = 64\sqrt{3}$ .
Raio inscrito: $r = \dfrac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}{12} = 2$ ; $V_E = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 8 = \dfrac{32\pi}{3}$ .

$\dfrac{V_P}{V_E} = \dfrac{64\sqrt{3} \cdot 3}{32\pi} = \dfrac{6\sqrt{3}}{\pi}$ .

Onde a galera erra: usar o raio da esfera circunscrita ( $\frac{a\sqrt{6}}{4}$ ), três vezes maior.

Leve para a prova: tetraedro regular: altura $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ ; inscrita $= \frac{1}{4}$ da altura, circunscrita $= \frac{3}{4}$ .

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