PASSE 2021 · 3ª etapa · Questão 29

Resposta: E

Resposta: (E) $\dbinom{n+k+1}{n+1}$.

A ideia: é o "teorema das diagonais" do triângulo de Pascal (somar uma diagonal dá o número logo abaixo do último termo).

Resolução. $\displaystyle\sum_{i=0}^{k} \binom{n+i}{i} = \binom{n+k+1}{k} = \binom{n+k+1}{n+1}$ (binomiais complementares).

Teste com $n = 1$, $k = 1$: $\binom{1}{0} + \binom{2}{1} = 3$, e $\binom{3}{2} = 3$. Confere.

Onde a galera erra: marcar B, $\binom{n+k+1}{k+1}$, que no teste dá $\binom{3}{2} = 3$ também; teste com $n = 2$, $k = 1$: soma $1 + 3 = 4 = \binom{4}{3}$, enquanto B dá $\binom{4}{2} = 6$.

Leve para a prova: confira identidades com números pequenos, e com mais de um caso.