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Provas resolvidas › PASSE 2022 · 2ª etapa

PASSE 2022 · 2ª etapa · Questão 25

Matemática · Geometria plana

O Parque Ecológico do Sóter, em Campo Grande, está passando por reformas. O engenheiro Pitágoras replanejou a área ABC como um novo parque para as crianças, determinando aos encarregados que entre os pontos A e C seja instalado um alambrado de segurança e na área determinada pelos pontos ABC seja plantada grama. Determine quantos metros de alambrado serão necessários entre os pontos A e C e quantos metros quadrados de grama aproximadamente serão necessários plantar no parque das crianças.

Dados: (use 2=1,4\sqrt{2} = 1{,}4 e aproximação de seno de 105°=0,97105° = 0{,}97; as medidas são fictícias)

Figura da questão
  1. ASerão necessários 210 metros de alambrado e aproximadamente 15278 metros quadrados de grama.
  2. BSerão necessários 280 metros de alambrado e aproximadamente 20000 metros quadrados de grama.
  3. CSerão necessários 180 metros de alambrado e aproximadamente 10000 metros quadrados de grama.
  4. DSerão necessários 130 metros de alambrado e aproximadamente 13500 metros quadrados de grama.
  5. ESerão necessários 150 metros de alambrado e aproximadamente 18278 metros quadrados de grama.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: com dois ângulos, sai o terceiro; lei dos senos dá AC; a área sai de 12absen⁡θ\frac{1}{2}ab\operatorname{sen}\theta.

Resolução. C^=180°−105°−45°=30°\hat{C} = 180° - 105° - 45° = 30°.

Lei dos senos: ACsen⁡45°=ABsen⁡30°⇒AC=150⋅2212=1502≈210\dfrac{AC}{\operatorname{sen}45°} = \dfrac{AB}{\operatorname{sen}30°} \Rightarrow AC = \dfrac{150 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 150\sqrt{2} \approx 210 m.

Área: 12⋅AB⋅AC⋅sen⁡105°=12⋅150⋅210⋅0,97≈15 278\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \operatorname{sen}105° = \dfrac{1}{2} \cdot 150 \cdot 210 \cdot 0{,}97 \approx 15\,278 m².

Onde a galera erra: usar o ângulo errado na área: o ângulo entre AB e AC é o de 105°, em A.

Leve para a prova: lei dos senos: cada lado sobre o seno do ângulo oposto; área com o ângulo entre os dois lados.

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