PASSE 2023 · 2ª etapa · Questão 16

Resposta: E

Resposta: (E) $733{,}\overline{3}$ cm² e 0,8.

A ideia: o semicírculo menor tangencia o maior: a distância entre os centros é a soma dos raios. Com isso sai o raio menor; a reta tangente é perpendicular à linha dos centros.

Resolução. Lado 40 cm. Semicírculo grande: diâmetro no lado esquerdo, centro (0, 20), raio 20. Semicírculo pequeno: diâmetro sobre AB, encostado no lado direito, centro $(40 - r, 0)$, raio $r$.

Tangência: $(40 - r)^2 + 20^2 = (20 + r)^2 \Rightarrow 1600 - 80r + 400 = 400 + 40r \Rightarrow r = \dfrac{40}{3}$.

Área cinza: $1600 - \dfrac{3 \cdot 400}{2} - \dfrac{3 \cdot (40/3)^2}{2} = 1600 - 600 - 266{,}\overline{6} = 733{,}\overline{3}$ cm².

Linha dos centros: de (0, 20) a $\left(\frac{80}{3}, 0\right)$, com $\operatorname{tg}\theta = \dfrac{20}{80/3} = \dfrac{3}{4}$ em relação a AB ($\cos\theta = 0{,}8$). A tangente é perpendicular a ela, então faz $90° - \theta$ com AB: $\operatorname{sen}(90° - \theta) = \cos\theta = 0{,}8$.

Onde a galera erra: dar o seno do ângulo da linha dos centros (0,6, D) em vez do da tangente.

Leve para a prova: círculos tangentes: distância entre centros = soma dos raios; tangente ⟂ raio no ponto de contato.