Provas resolvidas › PASSE 2023 · 2ª etapa

PASSE 2023 · 2ª etapa · Questão 17

Matemática · Geometria plana

Resolvida no Impulso

Um problema muito antigo relaciona um triângulo retângulo e três semicírculos; trata-se do problema de Hipócrates.

Nesse problema, a relação entre as áreas $A_1$ , $A_2$ e $A_3$ é:

A $A_1 + A_2 = A_3$ .
B $A_1 + A_3 = A_2$ .
C $A_2 + A_3 = A_1$ .
D $A_1 + A_2 > A_3$ .
E $A_1 + A_2 < A_3$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $A_1 + A_2 = A_3$ .

A ideia: pelo Teorema de Pitágoras, o semicírculo da hipotenusa tem área igual à soma dos semicírculos dos catetos. As "lunas" ficam com exatamente a área do triângulo.

Resolução. Catetos $b$ , $c$ e hipotenusa $a$ : semicírculos de áreas $\frac{\pi b^2}{8}$ , $\frac{\pi c^2}{8}$ e $\frac{\pi a^2}{8}$ , e $\frac{\pi b^2}{8} + \frac{\pi c^2}{8} = \frac{\pi a^2}{8}$ .

Lunas = semicírculos dos catetos + triângulo − semicírculo da hipotenusa = triângulo. Logo $A_1 + A_2 = A_3$ .

Onde a galera erra: achar que as lunas, por serem "curvas", não podem ter área exata em relação ao triângulo.

Leve para a prova: Pitágoras vale para qualquer figura semelhante construída sobre os lados, não só quadrados.

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