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Provas resolvidas › PASSE 2025 · 3ª etapa

PASSE 2025 · 3ª etapa · Questão 25

Matemática · Geometria espacial

Osvald é artesão. Ele pretende transformar uma esfera maciça de prata, cujo raio mede 1,5 dm, em pirâmides pentagonais regulares de lado da base medindo 1,2 dm e altura de 1,6 dm. Ele quer confeccionar o máximo disponível de pirâmides. Sendo assim, podemos afirmar que a quantidade máxima de pirâmides que poderão ser confeccionadas são: (Para efeito de cálculo, use: π=3,14\pi = 3{,}14 e seno 36°=0,5878036° = 0{,}58780, com aproximadamente duas casas decimais).

  1. Aduas pirâmides.
  2. Bquatro pirâmides.
  3. Coito pirâmides.
  4. Ddez pirâmides.
  5. Edoze pirâmides.
Ver a resposta e a resolução (com vídeo)

Resposta: D

A ideia: volume da esfera dividido pelo volume de uma pirâmide, arredondando para baixo.

Resolução. Esfera: 43⋅3,14⋅1,53≈14,13\frac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 1{,}5^3 \approx 14{,}13 dm³.

Base pentagonal (lado 1,2): apótema =0,6tg⁡36°= \dfrac{0{,}6}{\operatorname{tg}36°}, com cos⁡36°=1−0,58782≈0,809\cos36° = \sqrt{1 - 0{,}5878^2} \approx 0{,}809 e tg⁡36°≈0,727\operatorname{tg}36° \approx 0{,}727: apótema ≈0,83\approx 0{,}83 dm.

Área: 5⋅1,2⋅0,832≈2,48\frac{5 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}83}{2} \approx 2{,}48 dm². Pirâmide: 2,48⋅1,63≈1,32\frac{2{,}48 \cdot 1{,}6}{3} \approx 1{,}32 dm³.

14,131,32≈10,7\frac{14{,}13}{1{,}32} \approx 10{,}7: dez pirâmides inteiras.

Onde a galera erra: arredondar 10,7 para cima (11 não sai da prata disponível).

Leve para a prova: polígono regular: área = semiperímetro × apótema.

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