PASSE 2025 · 3ª etapa · Questão 26

Resposta: B

A ideia: a semicircunferência tem diâmetro BC = 24 e centro no meio de BC. Tangência entre circunferências dá a altura do ponto E; depois, a tangência com AC dá A.

Resolução. Coordenadas: B(0, 0), C(24, 0), centro da semicircunferência M(12, 0). A circunferência pequena toca AB (o eixo $y$), então seu centro é $(3, k)$.

Tangência externa com a semicircunferência: distância entre centros $= 3 + 12 = 15$: $9^2 + k^2 = 15^2 \Rightarrow k = 12$. Logo E = (0, 12).

Seja A = (0, a). A reta AC é $ax + 24y - 24a = 0$, e a distância de (3, 12) até ela vale 3: $\dfrac{|288 - 21a|}{\sqrt{a^2 + 576}} = 3 \Rightarrow a^2 - 28a + 180 = 0 \Rightarrow a = 18$ (a raiz 10 fica abaixo da circunferência).

$x = AE = 18 - 12 = 6$.

Onde a galera erra: achar que o centro da semicircunferência é B (raio 12 a partir do canto) — o desenho mostra o diâmetro sobre BC.

Leve para a prova: circunferências tangentes: distância entre centros = soma dos raios; tangente a uma reta: distância do centro à reta = raio.