A Escalada da MatemáticaQuestões resolvidas
O Impulso MS

Provas resolvidas › PASSE 2025 · 3ª etapa

PASSE 2025 · 3ª etapa · Questão 27

Matemática · Geometria analítica

Resolvida no Impulso

Artur desenhou no plano cartesiano um esboço da sua área de piquetes na escala 1:100001:10000 centímetros para produção bovina. O esboço contém um polígono cujos vértices são as coordenadas (0,0)(0, 0), (0,8)(0, 8), (8,8)(8, 8) e (8,0)(8, 0). Dentro desse polígono, há uma circunferência inscrita de centro (4,4)(4, 4) que tangencia os lados dele. Um octógono é circunscrito ao polígono inicial, de tal forma que os vértices desse polígono tangenciam o octógono em 4 de seus vértices; já os outros vértices do octógono possuem coordenadas descritas por (−2,4)(-2, 4), (4,−2)(4, -2), (10,4)(10, 4) e (4,10)(4, 10). Se nas áreas triangulares e também na área circular formadas pelo esboço, será criado em cada 1000 m² um bezerro, podem ser criados no máximo quantos bezerros nesses piquetes?

  1. A552.
  2. B688.
  3. C792.
  4. D822.
  5. E944.
Ver a resposta e a resolução (com vídeo)

Resposta: D

A ideia: somar a área dos 4 triângulos (entre o quadrado e o octógono) e do círculo, no desenho, e converter pela escala.

Resolução. Cada triângulo tem base 8 (lado do quadrado) e altura 2: o vértice (−2,4)(-2, 4) está a 2 unidades do lado x=0x = 0. Área: 8⋅22=8\dfrac{8 \cdot 2}{2} = 8. Quatro triângulos: 32.

Círculo inscrito, raio 4: 16π≈50,2716\pi \approx 50{,}27.

Total no desenho: ≈82,27\approx 82{,}27 cm². Na escala 1 : 10 000, 1 cm = 100 m e 1 cm² = 10 000 m²: ≈822 650\approx 822\,650 m².

Um bezerro por 1000 m²: 822 bezerros (no máximo, arredonda para baixo).

Onde a galera erra: tomar a altura do triângulo como 6 (a distância de (−2,4)(-2, 4) até o centro) e chegar a 1462, ou esquecer de elevar a escala ao quadrado.

Leve para a prova: escala de área é escala de comprimento ao quadrado.

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