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PASSE 2025 · 3ª etapa · Questão 30

Matemática · Geometria plana

Em um quadrado CDEF, foram inscritas duas circunferências tangentes entre si e que tangenciam o quadrado, conforme a imagem abaixo. A circunferência de centro A possui raio 5 centímetros, e a circunferência de centro B possui raio 8 centímetros. Qual é aproximadamente a área do quadrado CDEF? (Se julgar necessário, use a aproximação de 2=1,4\sqrt{2} = 1{,}4).

Figura da questão
  1. A278,46 cm².
  2. B389,04 cm².
  3. C488,41 cm².
  4. D626,55 cm².
  5. E676,04 cm².
Ver a resposta e a resolução (com vídeo)

Resposta: C

A ideia: os centros e os dois cantos opostos ficam todos sobre a diagonal do quadrado. Some os pedaços da diagonal.

Resolução. Do canto C até o centro A: 525\sqrt{2} (diagonal de um quadradinho de lado 5). De A até B: 5+8=135 + 8 = 13. De B até o canto E: 828\sqrt{2}.

Diagonal: 132+13=s2⇒s=13+132=13+1322≈13+9,1=22,113\sqrt{2} + 13 = s\sqrt{2} \Rightarrow s = 13 + \dfrac{13}{\sqrt{2}} = 13 + \dfrac{13\sqrt{2}}{2} \approx 13 + 9{,}1 = 22{,}1 cm.

Área: 22,12=488,4122{,}1^2 = 488{,}41 cm².

Onde a galera erra: somar os diâmetros como se as circunferências estivessem lado a lado na horizontal (s=26s = 26, área 676, E).

Leve para a prova: circunferência encostada em dois lados de um canto: o centro está na diagonal, a r2r\sqrt{2} do canto.

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