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Provas resolvidas › PASSE 2026 · 3ª etapa

PASSE 2026 · 3ª etapa · Questão 17

Matemática · Trigonometria

Uma torre de telefonia está situada próxima à cidade de Campo Grande. Para determinar sua altura, duas equipes posicionam teodolitos a uma mesma linha reta que passa pela base da torre. A equipe A instala o aparelho em um ponto e observa o topo da torre sob um ângulo de elevação de 60°. A equipe B, deslocando-se 50 m desse ponto na direção oposta à torre (de modo que a torre fique entre as equipes A e B), observa o topo da torre sob um ângulo de elevação de 30°. Considerando que ambos os teodolitos estão a 1,75 m do solo e adotando 3=1,7\sqrt{3} = 1{,}7, determine a altura da torre em metros.

Figura da questão
  1. A21,25 m.
  2. B23 m.
  3. C25 m.
  4. D42,5 m.
  5. E44,25 m.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: a torre fica entre as equipes: os dois afastamentos somam 50 m. Cada um sai da tangente do ângulo, e a altura dos teodolitos entra no fim.

Resolução. Seja hh a altura acima dos teodolitos.

htg⁡60°+htg⁡30°=50⇒h3+h3=50⇒4h3=50\dfrac{h}{\operatorname{tg}60°} + \dfrac{h}{\operatorname{tg}30°} = 50 \Rightarrow \dfrac{h}{\sqrt{3}} + h\sqrt{3} = 50 \Rightarrow \dfrac{4h}{\sqrt{3}} = 50.

h=5034=50⋅1,74=21,25h = \dfrac{50\sqrt{3}}{4} = \dfrac{50 \cdot 1{,}7}{4} = 21{,}25 m. Torre: 21,25+1,75=2321{,}25 + 1{,}75 = 23 m.

Onde a galera erra: esquecer os 1,75 m (21,25, A).

Leve para a prova: o ângulo de elevação nasce na altura do olho (ou do aparelho): some essa altura no final.

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