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Provas resolvidas › PASSE 2026 · 3ª etapa

PASSE 2026 · 3ª etapa · Questão 21

Matemática · Geometria plana

Um designer gráfico está produzindo um logotipo utilizando 6 círculos. Os círculos foram organizados em três fileiras: 3 círculos na base, 2 na fileira intermediária e um no topo e estão tangentes entre si como mostra a figura.

Figura da questão

A altura total da figura, medida da base até o ponto mais alto, é de 20 cm. Nessas condições, qual é a medida do raio do círculo?

  1. A1033\dfrac{10\sqrt{3}}{3} cm.
  2. B103\dfrac{10}{3} cm.
  3. C203\dfrac{20}{3} cm.
  4. D5(3−1)5(\sqrt{3} - 1) cm.
  5. E5(3+1)5(\sqrt{3} + 1) cm.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

Resposta: (D) 5(3−1)5(\sqrt{3} - 1) cm.

A ideia: os centros dos círculos dos cantos formam um triângulo equilátero. A altura total é esse triângulo mais um raio embaixo e um em cima.

Resolução. Na base, os centros dos círculos das pontas distam 4r4r (dois diâmetros). Triângulo equilátero de lado 4r4r: altura 4r32=23r\dfrac{4r\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}r.

Altura total: r+23r+r=2r(1+3)=20r + 2\sqrt{3}r + r = 2r(1 + \sqrt{3}) = 20.

r=103+1=10(3−1)2=5(3−1)r = \dfrac{10}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{10(\sqrt{3} - 1)}{2} = 5(\sqrt{3} - 1) cm.

Onde a galera erra: somar três diâmetros na vertical (6r=206r = 20, r=103r = \frac{10}{3}, B), como se os círculos estivessem empilhados em coluna.

Leve para a prova: círculos tangentes em pilha triangular: trabalhe com o triângulo dos centros; racionalize no fim.

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