UEMS 2021 · Questão 21

Matemática · Números complexos

Resolvida no Impulso

Considere os números complexos $z_1$ , $z_2$ e $z_3$ , tais que $z_1 + z_2 = 2$ , $z_1 + z_3 = 1$ e $z_2 - 2z_3 = 1 - i$ , onde $i$ é a unidade imaginária ( $i^2 = -1$ ).

Sendo $|z_1|$ e $\theta_3$ , respectivamente, o módulo de $z_1$ e o argumento (em radianos) de $z_3$ , então:

A $|z_1| = 2$ .
B $\theta_3 = \pi/4$ .
C $|z_1| = \sqrt{2}$ .
D $|z_1|\,\theta_3 = \pi$ .
E $\dfrac{\theta_3}{|z_1|} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\pi$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) $|z_1| = \sqrt{2}$ .

A ideia: resolver o sistema como se fossem números reais.

Resolução. Da primeira menos a segunda: $z_2 - z_3 = 1$ . Com $z_2 - 2z_3 = 1 - i$ , subtraindo: $z_3 = i$ .

Então $z_2 = 1 + i$ e $z_1 = 2 - z_2 = 1 - i$ .

$|z_1| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ . E $\theta_3 = \dfrac{\pi}{2}$ , então B e D caem; E também: $\dfrac{\pi/2}{\sqrt{2}} \ne \dfrac{\sqrt{2}}{2}\pi$ .

Onde a galera erra: errar o sinal ao subtrair as equações e achar $z_3 = -i$ .

Leve para a prova: sistema com complexos se resolve igual ao de reais; separe real e imaginário só no fim.

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