UEMS 2021 · Questão 24

Resposta: B

A ideia: OAB é um triângulo equilátero (raio = lado no hexágono). Com a lei dos cossenos acha-se OC, e com a lei dos senos, o ângulo.

Resolução. Seja $\ell$ o lado. $AC = \dfrac{\ell}{3}$ e $O\hat{A}B = 60°$.

$OC^2 = \ell^2 + \dfrac{\ell^2}{9} - 2 \cdot \ell \cdot \dfrac{\ell}{3} \cdot \cos 60° = \dfrac{7\ell^2}{9} \Rightarrow OC = \dfrac{\ell\sqrt{7}}{3}$.

Lei dos senos no triângulo AOC: $\dfrac{AC}{\operatorname{sen}(A\hat{O}C)} = \dfrac{OC}{\operatorname{sen}60°} \Rightarrow \operatorname{sen}(A\hat{O}C) = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} \approx 0{,}33$.

$A\hat{O}C \approx 19°$, que arredonda para 20°.

Onde a galera erra: dividir o ângulo de 60° na mesma proporção 1 : 2 e marcar 20° "por regra de três": a resposta coincide, mas o raciocínio está errado (ângulos não se dividem na proporção dos segmentos).

Leve para a prova: no hexágono regular, o raio é igual ao lado: cada "fatia" é um triângulo equilátero.