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UEMS 2021 · Questão 27

Matemática · Geometria espacial

A figura a seguir é formada por um triângulo isósceles de catetos iguais a 20 cm, um quadrado de lado 20 cm e uma semicircunferência de diâmetro igual a 20 cm. Considere π=3\pi = 3.

Figura da questão

A figura é colocada para girar no eixo que divide um cateto, o quadrado e a semicircunferência ao meio. O volume do sólido formado é:

  1. A9.000 cm³.
  2. B11.000 cm³.
  3. C13.000 cm³.
  4. D15.000 cm³.
  5. E17.000 cm³.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: girando, o quadrado e o triângulo formam um cilindro com um "furo" em forma de cone no topo; a semicircunferência vira meia esfera.

Resolução. Raio de tudo: 10 cm.

  • Cilindro de altura 20+20=4020 + 20 = 40 cm: 3⋅100⋅40=12 0003 \cdot 100 \cdot 40 = 12\,000 cm³.
  • Meia esfera: 23⋅3⋅1000=2000\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot 1000 = 2000 cm³.
  • No triângulo, a hipotenusa cruza o eixo a 10 cm do topo; acima disso, a volta deixa um buraco em cone (raio 10, altura 10): 13⋅3⋅100⋅10=1000\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 100 \cdot 10 = 1000 cm³.

Total: 12 000+2000−1000=13 00012\,000 + 2000 - 1000 = 13\,000 cm³.

Onde a galera erra: girar o triângulo como se ele virasse um cone inteiro (esquecendo que a outra metade, do outro lado do eixo, preenche quase tudo).

Leve para a prova: sólido de revolução: em cada altura, o raio é a maior distância ao eixo; se o eixo não está dentro da figura naquela altura, sobra um furo.

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