UEMS 2022 · Questão 26

Matemática · Exponenciais e logaritmos

Sobre logaritmos, considere a inequação a seguir:

$1 + \log_5(x^2 + 1) \ge \log_5(ax^2 + 4x + a)$ .

O conjunto dos valores de $a$ , para os quais a inequação é válida para todo $x \in \mathbb{R}$ , é descrito na forma $(A, B]$ . Qual o valor de $B - A$ ?

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: escrever o lado esquerdo como um único log e exigir duas coisas para todo $x$ : o logaritmando da direita positivo e a desigualdade entre os logaritmandos.

Resolução. $1 + \log_5(x^2 + 1) = \log_5(5x^2 + 5)$ .

Existência: $ax^2 + 4x + a > 0$ para todo $x$ : $a > 0$ e $16 - 4a^2 < 0$ , logo $a > 2$ .
Desigualdade: $5x^2 + 5 \ge ax^2 + 4x + a$ , ou $(5 - a)x^2 - 4x + (5 - a) \ge 0$ para todo $x$ : $5 - a > 0$ e $16 - 4(5 - a)^2 \le 0$ , logo $a \le 3$ .

Conjunto: $(2, 3]$ . $B - A = 1$ .

Onde a galera erra: esquecer a condição de existência do log da direita.

Leve para a prova: $ax^2 + bx + c > 0$ para todo $x$ ⇔ $a > 0$ e $\Delta < 0$ .

Quer chegar na prova sabendo por onde começar?

O Impulso MS ensina as habilidades que mais caem em UFGD, UFMS, UEMS e PASSE. O Movimento 1 é grátis.

Experimentar grátis