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UEMS 2023 · Questão 18

Matemática · Geometria plana

Resolvida no Impulso

A figura a seguir é composta por um pentágono regular, dois quadrados e um triângulo isósceles.

Figura da questão

Considerando o lado do pentágono igual a 12 cm e seu apótema igual a 8 cm, a área da parte cinza da figura é:

  1. A240 cm².
  2. B162 cm².
  3. C144 cm².
  4. D78 cm².
  5. E18 cm².
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: cinza = pentágono − quadrado grande − quadrado pequeno. O triângulo isósceles fica dentro do quadrado grande, então não entra na conta.

Resolução. Pentágono: perímetro × apótema ÷ 2 =60⋅82=240= \dfrac{60 \cdot 8}{2} = 240 cm².

Quadrado grande (lado do pentágono): 122=14412^2 = 144 cm².

Raio do pentágono: R2=82+62=100⇒R=10R^2 = 8^2 + 6^2 = 100 \Rightarrow R = 10. Altura do pentágono: 8+10=188 + 10 = 18 cm. A diagonal do quadrado pequeno vai do topo do quadrado grande ao vértice de cima: 18−12=618 - 12 = 6 cm, e sua área é 622=18\dfrac{6^2}{2} = 18 cm².

Cinza: 240−144−18=78240 - 144 - 18 = 78 cm².

Onde a galera erra: tirar só o quadrado grande (96) ou tratar 6 como lado do quadrado pequeno (área 36).

Leve para a prova: polígono regular: área =perıˊmetro×apoˊtema2= \dfrac{\text{perímetro} \times \text{apótema}}{2}; raio, apótema e meio lado formam um triângulo retângulo.

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