UEMS 2024 · Questão 16

Matemática · Geometria plana

A partir do semicírculo construído na figura abaixo, traçaremos por $B$ um segmento perpendicular ao diâmetro $\overline{AC}$ e denotando por $D$ o ponto de interseção desse segmento com o semicírculo. Em seguida, construiremos os segmentos $\overline{AD}$ e $\overline{CD}$ . Como o ângulo $A\hat{D}C$ é ângulo inscrito e possui o mesmo arco do ângulo $A\hat{O}C$ , que mede 180°, então o ângulo $A\hat{D}C$ é ângulo reto. Podemos concluir que o triângulo $ADC$ é retângulo. Considerando as informações acima e escrevendo $\overline{BD}$ em função de $a$ e $b$ , é correto afirmar que:

A $\overline{BD}$ é média aritmética de $a$ e $b$ .
B $\overline{BD}$ é média geométrica de $a$ e $b$ .
C $\overline{BD}$ é média harmônica de $a$ e $b$ .
D $\overline{BD}$ é média ponderada de $a$ e $b$ .
E $\overline{BD}$ é média quadrática de $a$ e $b$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) $\overline{BD}$ é média geométrica de $a$ e $b$ .

A ideia: no triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa é média geométrica das projeções.

Resolução. ADC é retângulo em D, e DB é a altura relativa à hipotenusa AC, dividida em $AB = a$ e $BC = b$ .

Relação métrica: $BD^2 = a \cdot b \Rightarrow BD = \sqrt{ab}$ , que é a média geométrica de $a$ e $b$ .

Onde a galera erra: confundir com a média aritmética $\frac{a + b}{2}$ , que é o raio do semicírculo (o segmento OD).

Leve para a prova: $h^2 = m \cdot n$ . Bônus: a figura prova que $\sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}$ , porque a altura nunca passa do raio.

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