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UEMS 2026 · Questão 26

Matemática · Matrizes e determinantes

Dada uma matriz MM, quadrada de ordem nn e inversível, M−1M^{-1} denota sua matriz inversa que, por definição, é tal que M×M−1=M−1×M=InM \times M^{-1} = M^{-1} \times M = I_n, em que InI_n é a matriz identidade de ordem nn. Sendo AA, BB, CC e XX matrizes inversíveis de ordem nn, na equação ABXC−1=CB−1ABXC^{-1} = CB^{-1}, a matriz XX é corretamente expressa por:

  1. AA−1⋅C⋅B⋅CA^{-1} \cdot C \cdot B \cdot C.
  2. BA−1⋅C⋅B−1A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}.
  3. CB−1⋅A−1⋅C⋅B−1B^{-1} \cdot A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}.
  4. DB−1⋅A−1⋅C⋅B⋅CB^{-1} \cdot A^{-1} \cdot C \cdot B \cdot C.
  5. EB−1⋅A−1⋅C⋅B−1⋅CB^{-1} \cdot A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1} \cdot C.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) B−1⋅A−1⋅C⋅B−1⋅CB^{-1} \cdot A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1} \cdot C.

A ideia: isolar XX multiplicando pelos inversos, sempre do lado certo (matriz não comuta).

Resolução. ABXC−1=CB−1ABXC^{-1} = CB^{-1}.

  • À direita por CC: ABX=CB−1CABX = CB^{-1}C.
  • À esquerda por A−1A^{-1}: BX=A−1CB−1CBX = A^{-1}CB^{-1}C.
  • À esquerda por B−1B^{-1}: X=B−1A−1CB−1CX = B^{-1}A^{-1}CB^{-1}C.

Onde a galera erra: "passar dividindo" sem respeitar o lado, o que gera ordens erradas como em D.

Leve para a prova: o que está à esquerda de XX sai pela esquerda; o que está à direita sai pela direita.

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