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UFGD 2010 · Questão 66

Matemática · Combinatória

Numa festa, todos os moradores da casa se cumprimentaram com um abraço entre si. Mais tarde, os moradores da casa vizinha chegaram à festa e cumprimentaram todos os presentes com um aperto de mão. Sabendo que ocorreram 48 apertos de mão e que no grupo que chegou havia duas pessoas a menos do que havia na casa, pode-se concluir que o número de abraços foi de

  1. A28
  2. B48
  3. C24
  4. D18
  5. E16
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: os apertos de mão são entre quem chegou e quem já estava; os abraços são entre os moradores da casa.

Resolução. Casa com nn pessoas e n−2n - 2 visitantes. Cada visitante aperta a mão de cada morador: n(n−2)=48n(n - 2) = 48, logo n=8n = 8.

Abraços entre os 8 moradores: C8,2=8⋅72=28C_{8,2} = \dfrac{8 \cdot 7}{2} = 28.

Onde a galera erra: contar abraços como 8⋅7=568 \cdot 7 = 56, duas vezes cada par.

Leve para a prova: cumprimento entre duas pessoas de um mesmo grupo: Cn,2C_{n,2}.

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