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UFGD 2011 · Questão 62

Matemática · Geometria plana

O anel viário de Dourados vai cortar as propriedades de Tico e Teco, conforme a figura a seguir. O segmento AX irá dividir a área em partes iguais. Como os terrenos são do mesmo tamanho, os proprietários decidiram fazer uma permuta de terrenos, de modo que a rodovia seja o limite da propriedade de ambos, ou seja, é preciso encontrar o ponto X de modo que os terrenos de cada lado da estrada fiquem com áreas iguais.

Figura da questão

Sabendo que AB = 2 km, BC = 6 km e CD = 1 km, conclui-se que a distância do ponto A ao ponto X será, em quilômetros, de

  1. A4 km
  2. B4,5 km
  3. C5 km
  4. D5,5 km
  5. E6 km
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: chame de incógnitas as medidas que faltam e escreva "área de cada lado da estrada = metade do total". As incógnitas somem.

Resolução. A altura do retângulo é AB+CD=2+1=3AB + CD = 2 + 1 = 3 km. Seja ww a largura do terreno à esquerda de A.

Área de Tico (sombreada): 3w+6⋅1=3w+63w + 6 \cdot 1 = 3w + 6. Como os terrenos são iguais, o total é 2(3w+6)2(3w + 6) e cada lado da estrada deve ficar com 3w+63w + 6.

À esquerda de AX ficam o retângulo 3w3w e um triângulo retângulo de catetos 3 (altura) e dd (distância horizontal de A até X): 3w+3d2=3w+6⇒d=43w + \dfrac{3d}{2} = 3w + 6 \Rightarrow d = 4.

AX=32+42=5AX = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 km.

Onde a galera erra: responder 4 (A), a distância horizontal, esquecendo que AX é a hipotenusa.

Leve para a prova: em problema de "dividir área ao meio", nomeie o que falta e iguale cada parte à metade; muitas vezes as incógnitas se cancelam.

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