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UFGD 2012 · Questão 62

Matemática · Matrizes e determinantes

Um computador atribui um número inteiro diferente a cada caractere do teclado. Para transmitir uma mensagem pela internet, esta é transformada em uma sequência de números inteiros consecutivos que é codificada do seguinte modo: a cada grupo de 4 caracteres consecutivos aa, bb, cc, dd, o computador multiplica a matriz (abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} à direita pela matriz (2312)\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} e transmite o resultado (xyvw)\begin{pmatrix} x & y \\ v & w \end{pmatrix} na sequência xx, yy, vv, ww. Por exemplo, a sequência 1, 8, 11, 3 é transmitida como a sequência 10, 19, 25, 39. Então,

  1. AO receptor da sequência 10, 19, 25, 39 não pode decodificar exatamente qual foi a sequência original enviada.
  2. BO receptor só pode identificar sequências de caracteres de 4 números inteiros desde que sejam menores que 64.
  3. CSe o receptor recebe a sequência 8, 15, 29, 36, então, a soma dos 4 números transmitidos é 17, mas não se sabe quais são estes números.
  4. DSe o receptor recebe a sequência 8, 15, 29, 36, então, a soma dos 4 números transmitidos é 25, e pode-se saber exatamente quais são estes números.
  5. EQualquer sequência de 4 números, dentro das capacidades computacionais dos equipamentos, poderá ser decodificada sem ambiguidades.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: decodificar é multiplicar pela inversa de (2312)\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. Essa matriz tem determinante 4−3=14 - 3 = 1, então a inversa existe e tem entradas inteiras.

Resolução. Inversa: (2−3−12)\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. Toda sequência recebida volta a uma única sequência original.

Testando C e D com 8, 15, 29, 36:

  • 2a+b=82a + b = 8 e 3a+2b=153a + 2b = 15: a=1a = 1, b=6b = 6;
  • 2c+d=292c + d = 29 e 3c+2d=363c + 2d = 36: c=22c = 22, d=−15d = -15.

Soma: 1+6+22−15=141 + 6 + 22 - 15 = 14. Nem 17 nem 25, e os números ficam determinados. C e D caem; A e B também (o exemplo 1, 8, 11, 3 decodifica certinho, e não há limite de 64).

Onde a galera erra: achar que "não dá para voltar" porque a conta parece de mão única.

Leve para a prova: matriz com determinante diferente de zero tem inversa: o processo é reversível.

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