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UFGD 2013 · Questão 71

Matemática · Geometria espacial · questão adaptada

Considere as circunferências de equações x2−6x+y2=7x^2 - 6x + y^2 = 7 e x2+y2+8y=0x^2 + y^2 + 8y = 0. O raio da circunferência que tem como diâmetro o segmento que une os centros das duas é

  1. A1,5
  2. B2,5
  3. C5,0
  4. D7,0
  5. E10,0
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Questão adaptada: o original pedia o "raio máximo do cilindro que toca os centros" de duas esferas, o que ficou mal definido (e esfera em R3\mathbb{R}^3 está fora do programa); aqui a ideia vai para o plano: ler o centro pela equação e medir a distância.

A ideia: complete quadrados para achar os centros; o raio pedido é metade da distância entre eles.

Resolução.

  • x2−6x+y2=7⇒(x−3)2+y2=16x^2 - 6x + y^2 = 7 \Rightarrow (x - 3)^2 + y^2 = 16: centro (3,0)(3, 0).
  • x2+y2+8y=0⇒x2+(y+4)2=16x^2 + y^2 + 8y = 0 \Rightarrow x^2 + (y + 4)^2 = 16: centro (0,−4)(0, -4).

Distância: 32+42=5\sqrt{3^2 + 4^2} = 5. Raio: 52=2,5\dfrac{5}{2} = 2{,}5.

Onde a galera erra: responder a distância (5,0, C), que é o diâmetro.

Leve para a prova: x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 tem centro (−D2,−E2)\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right).

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