UFGD 2014 · Questão 70

Matemática · Trigonometria

A umidade relativa do ar em uma determinada cidade foi medida das 6 horas da manhã de um dia até às 6 horas da manhã do dia seguinte. Os dados obtidos estão representados pela função periódica ao lado.

A expressão que descreve a variação da umidade do ar (dada em porcentagem) como função da hora do dia (dada pela variável $t$ ) é:

A $f(t) = 50 + 20\cos(2\pi t)$
B $f(t) = 20 + 50\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)$
C $f(t) = 50 + 20\,\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{12}t\right)$
D $f(t) = 70t^2$
E $f(t) = t^2 + 20$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) $f(t) = 50 + 20\,\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{12}t\right)$

A ideia: leia no gráfico o valor médio (eixo da onda), a amplitude e o período; depois confira um ponto.

Resolução. A umidade oscila entre 30 e 70: média $\frac{30 + 70}{2} = 50$ e amplitude $70 - 50 = 20$ . O ciclo se repete a cada 24 h: $\frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$ .

Conferindo: às 6 h, $50 + 20\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 70$ ✓; às 18 h, $50 + 20\operatorname{sen}\frac{3\pi}{2} = 30$ ✓.

Onde a galera erra: trocar média e amplitude (B) ou usar período 1 com $\cos(2\pi t)$ (A).

Leve para a prova: $f(t) = D + A\operatorname{sen}(Bt)$ : $D$ = eixo, $A$ = amplitude, período $= \frac{2\pi}{B}$ .

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