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UFGD 2015 · Questão 65

Matemática · Combinatória

Uma comissão com três membros está avaliando participantes de uma competição e cada membro atribui uma pontuação com valores inteiros de zero a dez. Porém, somente a soma das três notas é divulgada. Se a nota divulgada para um dos participantes foi 10, quantas possíveis composições de notas diferentes podem ter ocorrido entre os avaliadores?

  1. A24
  2. B33
  3. C66
  4. D128
  5. E132
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: contar as soluções de a+b+c=10a + b + c = 10 com inteiros de 0 a 10 (a ordem importa: cada avaliador é diferente).

Resolução. Pelo método das "barras e bolinhas": 10 bolinhas e 2 barras, C12,2=66C_{12,2} = 66.

Como a soma é 10, nenhuma nota passa de 10: não há caso a excluir.

Onde a galera erra: contar só os conjuntos de notas (sem ordem), como {1,4,5}\{1, 4, 5\}, e chegar a um número bem menor.

Leve para a prova: soluções inteiras não negativas de x1+⋯+xk=nx_1 + \cdots + x_k = n: Cn+k−1, k−1C_{n + k - 1,\, k - 1}.

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