UFGD 2016 · Questão 51

Resposta: C

Questão adaptada: no original, a figura marcava raio 5 cm no nível do suco, o que não combina com as paredes retas do copo (esse raio ficaria a 10 cm do fundo), e o gabarito (6,4 cm) só saía usando esse dado. Aqui a figura não tem esse raio, e as alternativas foram refeitas.

A ideia: complete o tronco até virar um cone. O volume de cone semelhante cresce com o cubo da altura.

Resolução. O raio sobe de 3 para 6 em 15 cm: 3 cm de raio a cada 15 cm de altura. Então o vértice do cone completo fica 15 cm abaixo do fundo, e a uma distância $t$ do vértice o raio é $\frac{t}{5}$.

Volume do cone até a distância $t$: $\dfrac{\pi}{3}\left(\dfrac{t}{5}\right)^2 t = \dfrac{\pi t^3}{75}$.

• Ponta que falta (até o fundo, $t = 15$): $\frac{3375\pi}{75} = 45\pi$.
• Cone até a boca ($t = 30$): $360\pi$. Copo: $360\pi - 45\pi = 315\pi$; um terço: $105\pi$.

O suco vai até $t$ com $\dfrac{\pi t^3}{75} = 45\pi + 105\pi = 150\pi \Rightarrow t^3 = 11\,250 \Rightarrow t \approx 22{,}4$.

$X = 22{,}4 - 15 \approx 7{,}4$ cm.

Onde a galera erra: dividir a altura por 3, como se o copo fosse cilíndrico (5 cm, A), ou aplicar o cubo a partir do fundo, como se o fundo fosse um vértice ($15\sqrt[3]{1/3} \approx 10{,}4$, E).

Leve para a prova: tronco de cone: complete o cone. Volumes de cones semelhantes estão na razão do cubo das alturas.