UFGD 2018 · Questão 60

Matemática · Matrizes e determinantes · questão adaptada

Considere a matriz $A = [a_{ij}]_{3\times3}$ tal que:

os elementos da diagonal principal, lidos de cima para baixo, formam uma progressão geométrica de razão $q = 5$ e soma 31;
os demais elementos, lidos linha a linha, da esquerda para a direita, formam uma progressão aritmética de razão $r = 3$ e soma 27.

O determinante de $A$ é

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Resposta: C

A ideia: montar a matriz a partir das duas progressões.

Resolução. Diagonal: PG de razão 5 e soma 31: $a + 5a + 25a = 31$ , logo 1, 5, 25.

Fora da diagonal (6 termos): PA de razão 3 e soma 27: $6a_1 + 15 \cdot 3 = 27$ , logo $a_1 = -3$ : $-3, 0, 3, 6, 9, 12$ .

$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \\ 9 & 12 & 25 \end{pmatrix}$ .

$\det A = 1(125 - 72) + 3(75 - 54) + 0 = 53 + 63 = 116$ .

Questão adaptada: a original não dizia em que ordem os termos da PA ocupavam a matriz.

Onde a galera erra: preencher a PA coluna a coluna; o enunciado manda linha a linha.

Leve para a prova: soma de PA: $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)n}{2}$ ; de PG com 3 termos, some direto.

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