UFGD 2019 · Questão 54

Matemática · Geometria plana

Na figura a seguir, são dados dois quadrados, em que o lado do quadrado menor está para o lado do quadrado maior, assim como um está para três.

Sendo assim, a soma das áreas sombreadas dos segmentos circulares é,

A $4b^2(2\pi - 2)$
B $\frac{5}{2}b^2(\pi - 2)$
C $5b^2(2\pi - 1)$
D $5(2\pi - 1)$
E $5b^2(2\pi - 2)$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) $\frac{5}{2}b^2(\pi - 2)$ .

A ideia: os arcos são da circunferência circunscrita a cada quadrado. Cada "gomo" sombreado é um quarto de (círculo − quadrado).

Resolução. Quadrado de lado $L$ : circunscrita de raio $\dfrac{L\sqrt{2}}{2}$ , área $\dfrac{\pi L^2}{2}$ .

Cada segmento: $\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\pi L^2}{2} - L^2\right) = \dfrac{L^2(\pi - 2)}{8}$ . Cada quadrado tem 2 segmentos sombreados: $\dfrac{L^2(\pi - 2)}{4}$ .

Com $a = 3b$ : $\dfrac{(a^2 + b^2)(\pi - 2)}{4} = \dfrac{10b^2(\pi - 2)}{4} = \dfrac{5}{2}b^2(\pi - 2)$ .

Onde a galera erra: contar os 4 segmentos de cada quadrado em vez de 2, chegando ao dobro.

Leve para a prova: segmento circular = setor − triângulo; quando o polígono é regular, divida (círculo − polígono) pelo número de lados.

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