UFGD 2019 · Questão 57

Matemática · Matrizes e determinantes

Considere $A = (a_{ij})$ uma matriz triangular superior de ordem 10 cujos elementos são definidos pela regra de formação $a_{ij} = 2i - j$ . Considerando que $A^8 = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{8\ \text{fatores}}$ , é correto afirmar que o determinante da matriz $2A^8$ é igual a:

A $2^{2^6}\, 3^{2^5}\, 5^{2^4}$
B $2^{2^6}\, 3^{2^5}\, 5^{2^4}\, 7^{2^3}$
C $(2^2)^5\, 2^{2^6}\, 3^{2^5}\, 5^{2^4}\, 7^{2^3}$
D $(2^2)^5\, 2^{2^6}\, 5^{2^4}\, 7^{2^3}\, 9^{2^2}$
E $(2^2)^5\, 2^{2^6}\, 3^{2^5}\, 7^{2^3}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) $(2^2)^5\, 2^{2^6}\, 3^{2^5}\, 5^{2^4}\, 7^{2^3}$ .

A ideia: determinante de triangular = produto da diagonal; $\det(kM) = k^n \det M$ ; $\det(A^8) = (\det A)^8$ .

Resolução. Diagonal: $a_{ii} = 2i - i = i$ , então $\det A = 1 \cdot 2 \cdots 10 = 10!$ .

$10! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$ .

$\det(2A^8) = 2^{10} \cdot (10!)^8 = 2^{10} \cdot 2^{64} \cdot 3^{32} \cdot 5^{16} \cdot 7^{8}$ .

Como $2^{10} = (2^2)^5$ , $64 = 2^6$ , $32 = 2^5$ , $16 = 2^4$ e $8 = 2^3$ : alternativa C.

Onde a galera erra: esquecer o $2^{10}$ do "2 na frente" (ordem 10) e marcar B.

Leve para a prova: $\det(kM_{n \times n}) = k^n \det M$ . O $k$ sai elevado à ordem.

Quer chegar na prova sabendo por onde começar?

O Impulso MS ensina as habilidades que mais caem em UFGD, UFMS, UEMS e PASSE. O Movimento 1 é grátis.

Experimentar grátis