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UFGD 2023 · Questão 53

Matemática · Trigonometria

Uma empresa prestadora de serviços telefônicos, ao estudar estratégias de atenuação de fibras óticas, depara-se com a seguinte dificuldade: uma de suas torres que se encontra de um dos lados de determinado rio está diretamente a leste e ao norte de dois conjuntos habitacionais, A e B, localizados do outro lado do rio. O topo dessa torre tem ângulos de elevação α\alpha e β\beta, respectivamente em relação a A e a B, conforme figura a seguir. Chamando de dd a distância entre os dois conjuntos habitacionais e admitindo-se que ambos os lados do rio estejam na mesma elevação, conclui-se, corretamente, que a altura hh, em metros, da torre é de

Figura da questão
  1. A10 m
  2. Bd(cotg⁡α)2+(cotg⁡β)2\dfrac{d}{\sqrt{(\operatorname{cotg}\alpha)^2 + (\operatorname{cotg}\beta)^2}}
  3. Cd(cotg⁡α)2−(cotg⁡β)2\dfrac{d}{\sqrt{(\operatorname{cotg}\alpha)^2 - (\operatorname{cotg}\beta)^2}}
  4. D10(cotg⁡α)2+(cotg⁡β)2\dfrac{10}{\sqrt{(\operatorname{cotg}\alpha)^2 + (\operatorname{cotg}\beta)^2}}
  5. E10(cotg⁡α)2−(cotg⁡β)2\dfrac{10}{\sqrt{(\operatorname{cotg}\alpha)^2 - (\operatorname{cotg}\beta)^2}}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) d(cotg⁡α)2+(cotg⁡β)2\dfrac{d}{\sqrt{(\operatorname{cotg}\alpha)^2 + (\operatorname{cotg}\beta)^2}}

A ideia: a torre está a leste de A e ao norte de B: as distâncias horizontais da base da torre até A e até B são perpendiculares. Pitágoras no chão.

Resolução. Base da torre P. Em cada triângulo vertical: PA=hcotg⁡αPA = h\operatorname{cotg}\alpha e PB=hcotg⁡βPB = h\operatorname{cotg}\beta.

No chão, PA⊥PBPA \perp PB: d2=h2cotg⁡2α+h2cotg⁡2βd^2 = h^2\operatorname{cotg}^2\alpha + h^2\operatorname{cotg}^2\beta.

h=dcotg⁡2α+cotg⁡2βh = \dfrac{d}{\sqrt{\operatorname{cotg}^2\alpha + \operatorname{cotg}^2\beta}}.

Onde a galera erra: subtrair os quadrados (C), como se A, P e B estivessem alinhados.

Leve para a prova: em problema espacial, separe os triângulos verticais (ângulo de elevação) do triângulo no chão.

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