UFGD 2023 · Questão 58

Matemática · Geometria analítica

Sejam $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ $n$ circunferências de centros $C_1, C_2, C_3, \ldots, C_n$ e raios $r_1 = 1$ , $r_2 = 2$ , $r_3 = 3$ , …, $r_n = n$ unidades de comprimento, respectivamente. Suponha que essas $n$ circunferências satisfazem as seguintes condições:

as abscissas dos centros $C_1, C_2, C_3, \ldots, C_n$ são todas positivas e as ordenadas têm o mesmo valor;
todas as circunferências $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ se tangenciam apenas no ponto $P = (0, 1)$ .

Admitindo-se que $C_1 = (1, 1)$ , afirma-se que as equações das circunferências $A_4$ e $A_n$ são dadas, respectivamente, por:

A $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 16$ e $(x - n)^2 + (y + 1)^2 = n^2$
B $(x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 16$ e $(x - n)^2 + (y - 1)^2 = n^2$
C $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 16$ e $(x + n)^2 + (y + 1)^2 = n^2$
D $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 16$ e $(x - n)^2 + (y + 1)^2 = n^2$
E $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 16$ e $(x - n)^2 + (y - 1)^2 = n^2$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 16$ e $(x - n)^2 + (y - 1)^2 = n^2$ .

A ideia: todas as circunferências passam por $P(0, 1)$ e têm o centro na mesma horizontal, $y = 1$ . A circunferência de raio $n$ tem centro a $n$ unidades à direita de $P$ .

Resolução. $C_1 = (1, 1)$ com raio 1 passa por $(0, 1)$ . Do mesmo jeito, $C_n = (n, 1)$ com raio $n$ passa por $(0, 1)$ , e todas se tangenciam ali.

$A_4$ : centro $(4, 1)$ , raio 4: $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 16$ .

$A_n$ : $(x - n)^2 + (y - 1)^2 = n^2$ .

Onde a galera erra: confundir o sinal dentro do parêntese: centro $(4, 1)$ vira $(x - 4)$ e $(y - 1)$ .

Leve para a prova: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ tem centro $(a, b)$ , com os sinais trocados em relação ao que aparece.

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