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UFGD 2027 · Questão 59

Matemática · Trigonometria

Um observador está localizado no ponto AA, no solo plano, e avista o topo de um edifício no ponto CC, formando um ângulo de 30∘30^\circ com a horizontal. O edifício está apoiado no ponto BB e é perpendicular ao solo. A distância horizontal entre o observador e a base do edifício é de 60 m. Em um ponto DD, localizado no segmento ABAB, a 16 m de AA, é construída uma estrutura retilínea até o topo CC. Nessas condições, qual é o comprimento de DCDC?

  1. A4914\sqrt{91}
  2. B40340\sqrt3
  3. C44+20344+20\sqrt3
  4. D44
  5. E56
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: o ângulo de 30° em AA dá a altura do edifício. Com ela e a distância de DD à base, DCDC sai por Pitágoras no triângulo DBCDBC.

Resolução. No triângulo retângulo ABCABC: BC=60⋅tg⁡30∘=60⋅33=203BC = 60 \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} m. Como DD está a 16 m de AA, DB=60−16=44DB = 60 - 16 = 44 m.

DC2=442+(203)2=1 936+1 200=3 136DC^2 = 44^2 + (20\sqrt{3})^2 = 1\,936 + 1\,200 = 3\,136, então DC=56DC = 56 m.

Onde a galera erra: usar o ângulo de 30° no triângulo DBCDBC, que tem outro ângulo em DD; ou somar 44+20344 + 20\sqrt{3} como se os lados se somassem.

Leve para a prova: ângulo dado num triângulo serve para achar um lado; depois, a figura nova (aqui, DBCDBC) se resolve com o que ela tem: dois catetos, Pitágoras.

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