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UFGD 2027 · Questão 60

Matemática · Funções afim e quadrática

Uma empresa pretende lançar um novo dispositivo eletrônico. Com base em pesquisas de mercado verificou-se que, se o preço de venda unitário for xx reais, a quantidade de unidades comercializadas será dada pela demanda D(x)=3400−20xD(x)=3400-20x. O custo total incluindo produção, logística e divulgação é modelado pela função C(x)=45000+5x2C(x)=45000+5x^2. Por estratégia comercial, a diretoria da empresa determinou que o preço de venda do produto deverá ser de no mínimo R$ 45,00 e no máximo R$ 80,00. Sabendo que toda a demanda será atendida, a receita da empresa é dada pelo produto entre o preço unitário e a quantidade vendida, e o lucro corresponde à diferença entre a receita e o custo. Considerando as condições estabelecidas pela empresa, é correto afirmar que

  1. Ao preço unitário que maximiza o lucro é R$ 68,00.
  2. Bo maior lucro possível é obtido quando o preço unitário é R$ 80,00.
  3. Co preço unitário que maximiza a receita é o mesmo que maximiza o lucro.
  4. Do custo total atinge seu valor mínimo quando o preço unitário é R$ 62,50.
  5. Eo lucro é maximizado quando o preço unitário é R$ 62,50.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: lucro é receita menos custo, e dá uma parábola com concavidade para baixo. Ache o vértice e confira se ele cai no intervalo permitido.

Resolução. Receita: R(x)=x(3400−20x)=3400x−20x2R(x) = x(3400 - 20x) = 3400x - 20x^2. Lucro: L(x)=R(x)−C(x)=−25x2+3400x−45 000L(x) = R(x) - C(x) = -25x^2 + 3400x - 45\,000. Vértice: xv=−34002⋅(−25)=68x_v = \frac{-3400}{2 \cdot (-25)} = 68, que está entre 45 e 80. Logo o lucro máximo é em R$ 68,00.

As outras caem: o lucro em 80 é menor que em 68; a receita tem vértice em 85 (fora do intervalo, então ela é máxima em 80), diferente do lucro; o custo 45 000+5x245\,000 + 5x^2 é mínimo em x=0x = 0, não em 62,50; e 62,50 não é o vértice do lucro.

Onde a galera erra: achar o vértice da receita (85) e tratá-lo como o do lucro, ou esquecer de subtrair o custo inteiro, inclusive o 5x25x^2.

Leve para a prova: em máximo com restrição, ache o vértice e confira o intervalo. Se o vértice cair fora, o máximo está na ponta mais próxima.

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