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UFMS 2018 · Questão 32

Matemática · Matrizes e determinantes

Resolvida no Impulso

O matemático e músico francês Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) criou uma matriz de ordem m×nm \times n, que tem a forma geral:

[111⋯1a1a2a3⋯ana12a22a32⋯an2a13a23a33⋯an3⋮⋮⋮⋮a1n−1a2n−1a3n−1⋯ann−1]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\ a_1^3 & a_2^3 & a_3^3 & \cdots & a_n^3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{bmatrix}

A partir dessa informação, qual será o valor do determinante

∣111log⁡5log⁡500log⁡5000log⁡25log⁡2500log⁡25000∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \log 5 & \log 500 & \log 5000 \\ \log^2 5 & \log^2 500 & \log^2 5000 \end{vmatrix}?

  1. A6.
  2. B3.
  3. Clog⁡5⋅log⁡500⋅log⁡5000\log 5 \cdot \log 500 \cdot \log 5000.
  4. Dlog⁡50\log 50.
  5. E0.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: é uma matriz de Vandermonde: o determinante é o produto das diferenças dos elementos da 2ª linha.

Resolução. Elementos: a=log⁡5a = \log 5, b=log⁡500=log⁡5+2b = \log 500 = \log 5 + 2, c=log⁡5000=log⁡5+3c = \log 5000 = \log 5 + 3.

det⁡=(b−a)(c−a)(c−b)=2⋅3⋅1=6\det = (b - a)(c - a)(c - b) = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6.

Onde a galera erra: tentar calcular os logaritmos. O log⁡5\log 5 se cancela em todas as diferenças.

Leve para a prova: Vandermonde: det⁡=∏i<j(xj−xi)\det = \prod_{i < j} (x_j - x_i).

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