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UFMS 2018 · Questão 33

Matemática · Trigonometria

Deseja-se construir uma indústria em um terreno de declividade acentuada. Para tornar possível a construção, é necessário um movimento de terra que planifique o terreno. Será efetuada uma compensação corte-aterro de modo que toda a terra retirada da parte mais alta seja usada no aterro da parte mais baixa. Por compactação, consegue-se que a densidade do aterro seja igual à do terreno natural. A firma de terraplanagem, empreiteira da obra, cobra R$ 300,00 por m³ de terra movimentada. As dimensões apontadas nas figuras 1 e 2 estão em metros. Qual o custo aproximado da operação? (Utilizar tg⁡50°=1,19\operatorname{tg} 50° = 1{,}19)

Figura 1 – Descrição do problema

Figura da questão

Figura 2 – Interpretação do problema

Figura da questão

Fonte: TROTTA, IMENES, JAKUBOVIC (1980, p. 161).

  1. Amenor que 42 milhões.
  2. B34 milhões.
  3. Centre 20 milhões e 33 milhões.
  4. Dmaior que 43 milhões.
  5. E40 milhões.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: a plataforma fica numa altura yy em que a terra cortada (triângulo AFE) é igual à aterrada (triângulo EGC). Calcule yy, a área cortada e multiplique pela largura de 253 m.

Resolução. Coordenadas: B(0, 0), A(0, 38), C(154, 0). A encosta AC: na altura yy, está em x=15438(38−y)≈4,05(38−y)x = \frac{154}{38}(38 - y) \approx 4{,}05(38 - y). As faces do corte (AD) e do aterro (GC) têm inclinação de 50°: recuam 11,19≈0,84\frac{1}{1{,}19} \approx 0{,}84 por metro de altura.

  • Corte AFE: base FE≈(4,05−0,84)(38−y)=3,21(38−y)FE \approx (4{,}05 - 0{,}84)(38 - y) = 3{,}21(38 - y), altura 38−y38 - y.
  • Aterro EGC: base EG≈3,21 yEG \approx 3{,}21\,y, altura yy.

Áreas iguais: (38−y)2=y2⇒y=19(38 - y)^2 = y^2 \Rightarrow y = 19 m.

Área cortada: 12⋅3,21⋅192≈580\frac{1}{2} \cdot 3{,}21 \cdot 19^2 \approx 580 m². Volume: 580⋅253≈146 700580 \cdot 253 \approx 146\,700 m³. Custo: 146 700⋅300≈146\,700 \cdot 300 \approx R$ 44 milhões.

Onde a galera erra: esquecer a terceira dimensão (253 m) ou cobrar corte e aterro separadamente (o enunciado cobra a terra movimentada, que é a cortada).

Leve para a prova: compensação corte-aterro: iguale as duas áreas; a simetria do problema põe a plataforma na metade da altura.

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