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UFMS 2018 · Questão 42

Matemática · Geometria plana · questão adaptada

Na casa do professor Marcos Amaral existe um quadro feito com figuras geométricas conforme a figura a seguir:

Figura da questão

Todos os círculos têm o mesmo tamanho, com diâmetro de 20 cm, e os dois círculos nos extremos se tangenciam no centro do círculo do meio. Considerando π=3\pi = 3, determine a área que está em branco.

  1. A100(4−3)100(4 - \sqrt{3}) cm².
  2. B600(2−3)600(2 - \sqrt{3}) cm².
  3. C900(2−3)900(2 - \sqrt{3}) cm².
  4. D600 cm².
  5. E900 cm².
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) 100(4−3)100(4 - \sqrt{3}) cm².

Questão adaptada: no original, nenhuma alternativa trazia o valor da área branca e as unidades estavam erradas. Aqui a A traz o valor correto, em cm².

A ideia: as partes brancas são duas "lentes" (interseção de dois círculos). Cada lente é o dobro de um segmento circular de 120°.

Resolução. Raio 10; os centros vizinhos distam 10 (um círculo passa pelo centro do outro). Os pontos de corte e os dois centros formam dois triângulos equiláteros, e o ângulo central de cada arco é 120°.

Segmento de 120°: setor − triângulo =π⋅1023−12⋅102⋅sen⁡120°=100−253= \dfrac{\pi \cdot 10^2}{3} - \dfrac{1}{2}\cdot 10^2 \cdot \operatorname{sen}120° = 100 - 25\sqrt{3} (com π=3\pi = 3).

Lente =2(100−253)=200−503= 2(100 - 25\sqrt{3}) = 200 - 50\sqrt{3}. Duas lentes: 400−1003=100(4−3)400 - 100\sqrt{3} = 100(4 - \sqrt{3}) cm².

Onde a galera erra: usar setor de 60° em vez de 120°: o ângulo central é o dobro do ângulo de cada triângulo equilátero.

Leve para a prova: lente entre círculos iguais que passam pelo centro um do outro =r2(2π3−32)= r^2\left(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

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