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UFMS 2018 · Questão 44

Matemática · Geometria plana

Os triângulos são largamente utilizados na formação de treliças, pela sua rigidez, visto que para três valores de lado só existe um triângulo; assim, são figuras que não se deformam.

Figura da questão

Um estudante de Arquitetura, ao observar a vista frontal de um telhado, conforme a figura, e sabendo-se que ele se estendia por 10 m, calculou que a área do telhado era de:

  1. A10 m².
  2. B10310\sqrt{3} m².
  3. C20 m².
  4. D30 m².
  5. E20320\sqrt{3} m².
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) 20320\sqrt{3} m².

A ideia: as marcas iguais na figura dizem que AF=FBAF = FB: o triângulo ABF é isósceles. Com o 30° em B, sai o ângulo de inclinação do telhado e a medida de cada água.

Resolução. No triângulo retângulo BEF, BE^F=90°B\hat{E}F = 90° e FB^E=30°F\hat{B}E = 30°, logo BF^E=60°B\hat{F}E = 60° e BF=FEsen⁡30°=0,50,5=1BF = \dfrac{FE}{\operatorname{sen}30°} = \dfrac{0{,}5}{0{,}5} = 1 m.

No isósceles ABF (AF=FB=1AF = FB = 1), o ângulo externo em F vale a soma dos dois iguais: 60°=2A^⇒A^=30°60° = 2\hat{A} \Rightarrow \hat{A} = 30°.

Então AE=AF+FE=1,5AE = AF + FE = 1{,}5 m e cada água do telhado mede AB=AEcos⁡30°=1,53/2=3AB = \dfrac{AE}{\cos 30°} = \dfrac{1{,}5}{\sqrt{3}/2} = \sqrt{3} m. Pela simetria, BC=3BC = \sqrt{3} m.

O telhado são dois retângulos de 3\sqrt{3} m por 10 m: 2⋅103=2032 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3} m².

Onde a galera erra: calcular a área do triângulo da vista frontal, em vez da área das duas águas do telhado.

Leve para a prova: ângulo externo de um triângulo = soma dos dois internos não adjacentes; marcas iguais na figura são dado.

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