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UFMS 2019 · Questão 19

Matemática · Geometria plana

Resolvida no Impulso

Para o projeto de reforma de uma casa, foi planejada a troca do piso da cozinha. Foi escolhido um modelo de piso representado pela Figura 1. No momento de assentar o piso, unindo quatro peças e invertendo a posição de três delas, obtém-se a Figura 2.

Figura da questão

Os lados da Figura 1 medem 2 cm cada. A estampa do piso é formada por arcos de circunferência, com centros nos pontos E, C e F, de tal forma que BE = EC e DF = FC. Quanto mede a área escura da Figura 2?

  1. A6−π6 - \pi cm².
  2. B20−2π20 - 2\pi cm².
  3. C4π−84\pi - 8 cm².
  4. Dπ−2\pi - 2 cm².
  5. E24−4π24 - 4\pi cm².
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) 24−4π24 - 4\pi cm².

A ideia: em cada peça, as duas regiões brancas têm a mesma área (a "lente" formada pelos dois semicírculos). Calcule a parte branca e tire do quadrado.

Resolução. Cada peça é um quadrado de lado 2 (área 4), com:

  • um quarto de círculo de centro C e raio 2 (área π\pi);
  • dois semicírculos de raio 1, centrados em E e F (área π2\frac{\pi}{2} cada), que se cortam numa lente.

A lente entre os dois semicírculos (centros a 2\sqrt{2} de distância, raio 1) vale 2(π4−12)=π2−12\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} - 1.

A parte do quarto de círculo fora dos dois semicírculos: π−(π2+π2−(π2−1))=π2−1\pi - \left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} - \left(\dfrac{\pi}{2} - 1\right)\right) = \dfrac{\pi}{2} - 1, a mesma área da lente.

Branco por peça: π−2\pi - 2. Escuro por peça: 4−(π−2)=6−π4 - (\pi - 2) = 6 - \pi.

Figura 2 (4 peças): 4(6−π)=24−4π4(6 - \pi) = 24 - 4\pi cm².

Onde a galera erra: responder a área de uma só peça (6−π6 - \pi, A).

Leve para a prova: em figuras com arcos, monte a área branca por soma e subtração de setores e polígonos; inverter peças não muda áreas.

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