UFMS 2019 · Questão 20

Matemática · Exponenciais e logaritmos · questão adaptada

Em um laboratório, são analisadas separadamente duas colônias de bactérias, tipo A e tipo B, presentes em uma substância líquida que promove a redução do número dessas bactérias. As funções $f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ e $g: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ , onde $f(x) = 5\left(\frac{1}{2}\right)^x$ e $g(x) = 8\left(\frac{1}{3}\right)^x$ descrevem o número de bactérias do tipo A e B, respectivamente, em função do tempo em segundos. A partir de qual valor de $x$ o número de bactérias do tipo A é maior do que o número de bactérias do tipo B?

A $\log_{\frac{2}{3}} \frac{8}{5}$
B $\log_{\frac{5}{8}} \frac{2}{3}$
C $\log_{\frac{3}{2}} \frac{5}{8}$
D $\log_{\frac{3}{2}} \frac{8}{5}$
E $\log_{\frac{8}{5}} \frac{2}{3}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

Resposta: (D) $\log_{\frac{3}{2}} \dfrac{8}{5}$ .

A ideia: isolar a exponencial: dividir as duas funções.

Resolução. $5\left(\dfrac{1}{2}\right)^x > 8\left(\dfrac{1}{3}\right)^x \iff \dfrac{3^x}{2^x} > \dfrac{8}{5} \iff \left(\dfrac{3}{2}\right)^x > \dfrac{8}{5}$ .

Base maior que 1: $x > \log_{\frac{3}{2}} \dfrac{8}{5}$ .

Questão adaptada: na original, as alternativas C e D eram o mesmo número.

Onde a galera erra: inverter a desigualdade sem necessidade: a base $\dfrac{3}{2}$ é maior que 1.

Leve para a prova: base > 1 mantém o sentido; base entre 0 e 1 inverte.

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