UFMS 2019 · Questão 28

Matemática · Geometria plana

Uma nova liga metálica maleável foi desenvolvida pela indústria da construção civil, a fim de obter novos designs. Uma das maneiras de produzir esses novos modelos, a partir de uma barra circular, é colocá-la em uma prensa e comprimi-la, conforme o esquema a seguir:

Suponha que a parte superior e inferior da prensa sejam perfeitamente paralelas e que as partes curvas da nova barra obtida sejam semicircunferências com a metade do diâmetro da face circular original. Suponha, ainda, que o perímetro permanece inalterado em relação ao círculo original da barra.

A razão da área da face comprimida pela área da face circular da barra original é igual a:

A $\dfrac{5}{4}$
B $\dfrac{3}{4}$
C $\dfrac{4}{3}$
D $\dfrac{2}{3}$
E $\dfrac{3}{2}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) $\dfrac{3}{4}$ .

A ideia: o perímetro fica igual. Ele vira duas semicircunferências (de raio $\frac{r}{2}$ ) mais dois segmentos retos. Ache os segmentos e compare as áreas.

Resolução. Círculo original de raio $r$ : perímetro $2\pi r$ , área $\pi r^2$ .

Nova face: as duas semicircunferências de raio $\frac{r}{2}$ formam um círculo de perímetro $\pi r$ . Sobra $2\pi r - \pi r = \pi r$ para os dois segmentos: cada um mede $\dfrac{\pi r}{2}$ .

Área nova: círculo de raio $\frac{r}{2}$ + retângulo $\frac{\pi r}{2} \times r$ : $\dfrac{\pi r^2}{4} + \dfrac{\pi r^2}{2} = \dfrac{3\pi r^2}{4}$ .

Razão: $\dfrac{3\pi r^2/4}{\pi r^2} = \dfrac{3}{4}$ .

Onde a galera erra: inverter a razão (4/3, C). Pedida é a área comprimida sobre a original.

Leve para a prova: com o mesmo perímetro, o círculo é a figura de maior área: qualquer deformação diminui a área.

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