UFMS 2020 · Questão 21

Resposta: C

Resposta: (C) $5\sqrt{2}$ cm.

Questão adaptada: no original, o enunciado não definia bem o quadrilátero nem de que segmento O era ponto médio, e nenhuma alternativa fechava. Aqui o losango, O e a medida de NM foram explicitados.

A ideia: NM é base média do triângulo BCD, então dá a diagonal BD. Com BD, sai o cosseno do ângulo do losango, e a lei dos cossenos dá AM.

Resolução. Base média: $BD = 2 \cdot NM = 5\sqrt{2}$.

No triângulo ABD (lados 10, 10): $BD^2 = 200 - 200\cos\hat{A} = 50 \Rightarrow \cos\hat{A} = \dfrac{3}{4}$. No losango, $\hat{B} = 180° - \hat{A}$, logo $\cos\hat{B} = -\dfrac{3}{4}$.

No triângulo ABM ($AB = 10$, $BM = 5$): $AM^2 = 100 + 25 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = 200 \Rightarrow AM = 10\sqrt{2}$.

$AO = \dfrac{AM}{2} = 5\sqrt{2}$ cm.

Onde a galera erra: responder AM inteiro ou usar $\cos\hat{A}$ no triângulo ABM, onde o ângulo é o $\hat{B}$.

Leve para a prova: segmento que liga pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro e mede a metade dele.