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UFMS 2020 · Questão 28

Matemática · Trigonometria

A expressão trigonométrica sen⁡3x−cos⁡3xsen⁡x−cos⁡x\dfrac{\operatorname{sen}^3 x - \cos^3 x}{\operatorname{sen} x - \cos x} é equivalente a:

  1. Asen⁡2x−cos⁡2x\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x.
  2. Bsen⁡x+cos⁡x\operatorname{sen} x + \cos x.
  3. C1−sen⁡x⋅cos⁡x1 - \operatorname{sen} x \cdot \cos x.
  4. Dsen⁡x+cos⁡xsen⁡x−cos⁡x\dfrac{\operatorname{sen} x + \cos x}{\operatorname{sen} x - \cos x}.
  5. Esen⁡2x2+1\dfrac{\operatorname{sen} 2x}{2} + 1.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) sen⁡2x2+1\dfrac{\operatorname{sen} 2x}{2} + 1.

A ideia: diferença de cubos: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Resolução. sen⁡3x−cos⁡3xsen⁡x−cos⁡x=sen⁡2x+sen⁡xcos⁡x+cos⁡2x=1+sen⁡xcos⁡x\dfrac{\operatorname{sen}^3x - \cos^3x}{\operatorname{sen}x - \cos x} = \operatorname{sen}^2x + \operatorname{sen}x\cos x + \cos^2x = 1 + \operatorname{sen}x\cos x.

Como sen⁡2x=2sen⁡xcos⁡x\operatorname{sen}2x = 2\operatorname{sen}x\cos x: 1+sen⁡2x21 + \dfrac{\operatorname{sen}2x}{2}.

Onde a galera erra: trocar o sinal do termo do meio e marcar 1−sen⁡xcos⁡x1 - \operatorname{sen}x\cos x (C), que é a soma de cubos.

Leve para a prova: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) e a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).

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