UFMS 2021 · Questão 16

Resposta: E

Resposta: (E) $6R\sqrt{7}/7$.

A ideia: o raio R vai do centro do hexágono do meio até um vértice externo de um hexágono vizinho. Monte esse triângulo e use a lei dos cossenos.

Resolução. Seja $\ell$ o lado de cada hexágono. Os centros de hexágonos vizinhos distam $\ell\sqrt{3}$ (duas vezes o apótema $\frac{\ell\sqrt{3}}{2}$).

Do centro do vizinho até seu vértice mais afastado: distância $\ell$, formando $150°$ com a direção de volta ao centro (o vértice fica a 30° da linha dos centros, do lado de fora).

$R^2 = 3\ell^2 + \ell^2 - 2 \cdot \ell\sqrt{3} \cdot \ell \cdot \cos 150° = 4\ell^2 + 3\ell^2 = 7\ell^2 \Rightarrow \ell = \dfrac{R}{\sqrt{7}}$.

Perímetro: $6\ell = \dfrac{6R}{\sqrt{7}} = \dfrac{6R\sqrt{7}}{7}$.

Onde a galera erra: supor que R vale 3 lados (vértices alinhados com o centro) e chegar a $6 \cdot \frac{R}{3} = 2R$, que nem está nas alternativas.

Leve para a prova: hexágono regular de lado $\ell$: apótema $\frac{\ell\sqrt{3}}{2}$; centros de hexágonos vizinhos distam $\ell\sqrt{3}$.