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UFMS 2021 · Questão 18

Matemática · Números complexos

Sejam θ\theta e ρ\rho, respectivamente, o argumento e o módulo do número complexo z=−3⋅3+i1+3⋅iz = -3 \cdot \dfrac{\sqrt{3} + i}{1 + \sqrt{3} \cdot i}. Nessas condições, a expressão E=ρ⋅tg⁡θE = \sqrt{\rho} \cdot \operatorname{tg} \theta vale:

  1. A−3-3.
  2. B−1-1.
  3. C1/2.
  4. D1.
  5. E3.
Ver a resposta e a resolução (com vídeo)

Resposta: B

Resposta: (B) −1-1.

A ideia: simplificar a fração com o conjugado e depois achar módulo e tangente do argumento.

Resolução. 3+i1+3i=(3+i)(1−3i)1+3=3−3i+i+34=3−i2\dfrac{\sqrt{3} + i}{1 + \sqrt{3}i} = \dfrac{(\sqrt{3} + i)(1 - \sqrt{3}i)}{1 + 3} = \dfrac{\sqrt{3} - 3i + i + \sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3} - i}{2}.

z=−3⋅3−i2=−33+3i2z = -3 \cdot \dfrac{\sqrt{3} - i}{2} = \dfrac{-3\sqrt{3} + 3i}{2}.

ρ=3\rho = 3 (o fator 3−i2\dfrac{\sqrt{3} - i}{2} tem módulo 1). tg⁡θ=3/2−33/2=−13\operatorname{tg} \theta = \dfrac{3/2}{-3\sqrt{3}/2} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

E=3⋅(−13)=−1E = \sqrt{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = -1.

Onde a galera erra: usar ρ=9\rho = 9 ou esquecer a raiz: EE usa ρ\sqrt{\rho}.

Leve para a prova: número da forma a+bib+ai\dfrac{a + bi}{b + ai} costuma ter módulo 1. Confira antes de fazer conta.

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