UFMS 2021 · Questão 19

Matemática · Geometria espacial

Na figura a seguir, CD é um arco da circunferência de equação $x^2 + (y - 4)^2 = 4$ , e ABCE é um retângulo de dimensões 2 u.c. × 4 u.c. A região em cinza é posta em rotação em torno do eixo $\overrightarrow{Oy}$ do plano cartesiano.

O sólido gerado será produzido por um marceneiro e, sendo V e A, respectivamente, o volume de madeira a ser utilizada e a área da superfície exposta da peça, em unidades de volume e de área, a razão V/A, em unidades de comprimento, será igual a:

A8/21.
B8/27.
C8/15.
D4/21.
E1/27.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: a parte branca é um quarto de círculo de raio 2 com centro em E. Girando, o retângulo vira um cilindro e o quarto de círculo vira meia esfera "cavada" no topo.

Resolução. Volume: cilindro (raio 2, altura 4) menos meia esfera de raio 2: $V = 16\pi - \dfrac{2}{3}\pi \cdot 8 = \dfrac{32\pi}{3}$ .

Superfície exposta: fundo $4\pi$ , lateral $2\pi \cdot 2 \cdot 4 = 16\pi$ e a concha da meia esfera $2\pi \cdot 2^2 = 8\pi$ . (Em cima, a borda da concha coincide com a do cilindro: não sobra tampa.) $A = 28\pi$ .

$\dfrac{V}{A} = \dfrac{32/3}{28} = \dfrac{8}{21}$ .

Onde a galera erra: contar a tampa de cima ( $4\pi$ ) ou usar a área da esfera inteira na concha.

Leve para a prova: meia esfera: volume $\frac{2}{3}\pi r^3$ , área curva $2\pi r^2$ .

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