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UFMS 2021 · Questão 20

Matemática · Polinômios

De um polinômio P(x)P(x), sabe-se que:

I – P(1)=0P(1) = 0
II – P(−2)=45P(-2) = 45
III – O resto de sua divisão por x2+x−2x^2 + x - 2 é o polinômio R(x)=ax+bR(x) = ax + b.

Sendo assim, é correto afirmar que:

  1. AR(−3)=−30R(-3) = -30.
  2. BR(2)=15R(2) = 15.
  3. CR(1)=30R(1) = 30.
  4. DR(−1)=0R(-1) = 0.
  5. ER(0)=15R(0) = 15.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) R(0)=15R(0) = 15.

A ideia: x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2). Nas raízes do divisor, PP coincide com o resto.

Resolução. P(x)=(x−1)(x+2)Q(x)+ax+bP(x) = (x - 1)(x + 2)Q(x) + ax + b.

  • x=1x = 1: P(1)=a+b=0P(1) = a + b = 0.
  • x=−2x = -2: P(−2)=−2a+b=45P(-2) = -2a + b = 45.

a=−15a = -15, b=15b = 15. R(x)=−15x+15R(x) = -15x + 15, então R(0)=15R(0) = 15.

As outras: R(−3)=60R(-3) = 60, R(2)=−15R(2) = -15, R(1)=0R(1) = 0, R(−1)=30R(-1) = 30.

Onde a galera erra: tentar descobrir P(x)P(x) inteiro. Só o resto interessa.

Leve para a prova: resto da divisão por (x−r)(x - r): substitua rr. Divisor de grau 2: use as duas raízes.

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