UFMS 2022 · Questão 18

Matemática · Trigonometria

Resolvida no Impulso

Para medir a altura da estátua do Cristo Redentor em Três Lagoas, uma pessoa, a uma distância de 20 m da estátua, observa o topo sob um ângulo $\theta$ . Caminhando em direção à estátua, quando o observador está a 5 m da estátua, ele observa o topo sob um ângulo $2\theta$ .

Desprezando a altura do pedestal, a altura da estátua em metros é:

A $5\sqrt{2}$ .
B $10\sqrt{2}$ .
C $15\sqrt{2}$ .
D $20\sqrt{2}$ .
E $25\sqrt{2}$ .

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) $10\sqrt{2}$ .

A ideia: o ângulo $2\theta$ é externo ao triângulo formado pelos dois pontos de observação e o topo. Então o ângulo no topo também é $\theta$ , e esse triângulo é isósceles.

Resolução. No triângulo (observador 1, observador 2, topo): ângulo $\theta$ no observador 1 e ângulo externo $2\theta$ no observador 2, logo o ângulo no topo é $2\theta - \theta = \theta$ .

Isósceles: distância do observador 2 ao topo = $20 - 5 = 15$ m.

No triângulo retângulo do observador 2: $h = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ m.

(Pela fórmula: $\operatorname{tg}2\theta = \frac{2\operatorname{tg}\theta}{1 - \operatorname{tg}^2\theta}$ com $\operatorname{tg}\theta = \frac{h}{20}$ e $\operatorname{tg}2\theta = \frac{h}{5}$ dá o mesmo.)

Onde a galera erra: achar que, com o ângulo dobrado, a altura dobra.

Leve para a prova: ângulo externo = soma dos internos não adjacentes; ângulo dobrando costuma esconder um isósceles.

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