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UFMS 2022 · Questão 20

Matemática · Números complexos

Resolvida no Impulso

Sejam z1,z2,z3,z4z_1, z_2, z_3, z_4 números complexos tais que, quando representados no plano complexo, estão no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante, respectivamente. Além disso, são os vértices de um quadrado de centro na origem e lados paralelos aos eixos. Se o quadrado tem lado 2, qual o valor de z1−z2−z3+z4z_1 - z_2 - z_3 + z_4?

  1. A2.
  2. B4.
  3. C4i4i.
  4. D8.
  5. E8i8i.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: quadrado de lado 2 centrado na origem com lados nos eixos: vértices ±1±i\pm 1 \pm i.

Resolução. z1=1+iz_1 = 1 + i, z2=−1+iz_2 = -1 + i, z3=−1−iz_3 = -1 - i, z4=1−iz_4 = 1 - i.

z1−z2−z3+z4=(1+i)−(−1+i)−(−1−i)+(1−i)=4z_1 - z_2 - z_3 + z_4 = (1 + i) - (-1 + i) - (-1 - i) + (1 - i) = 4.

As partes imaginárias se cancelam: i−i+i−i=0i - i + i - i = 0.

Onde a galera erra: usar vértices ±2±2i\pm 2 \pm 2i (lado 4), o que dá 8.

Leve para a prova: lado 2 centrado na origem: metade do lado para cada lado do eixo.

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