UFMS 2022 · Questão 30

Resposta: D

Resposta: (D) $16\sqrt{2}$ cm.

A ideia: todos os polígonos compartilham lados, então todos os lados valem 20. AB fecha um triângulo com dois lados de 20 e um ângulo que sai do pentágono.

Resolução. Seja P o vértice de baixo à direita do quadrado. O triângulo isósceles é retângulo em P (ângulo do quadrado), então $PA = 20$. O pentágono de baixo tem P como vértice e $PB = 20$.

O ângulo interno do pentágono em P é 108°, medido a partir do lado de cima (que aponta para a esquerda). Então $A\hat{P}B = 180° - 108° = 72°$.

Lei dos cossenos, com $\cos 72° = \operatorname{sen}18° = 0{,}36$: $AB^2 = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 0{,}36 = 800 - 288 = 512 \Rightarrow AB = 16\sqrt{2}$ cm.

Onde a galera erra: usar 108° no lugar de 72° na lei dos cossenos.

Leve para a prova: $\cos(90° - x) = \operatorname{sen}x$: o dado $\operatorname{sen}18°$ serve para $\cos72°$.