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UFMS 2023 · Questão 27

Matemática · Trigonometria

Leia o texto a seguir.

Incêndio de grandes proporções atinge Dourados: incêndio em pastagem se alastra rápido e atinge lavouras de cana e milho. Fogo atingiu propriedades rurais na margem da BR-463, entre os municípios de Dourados e de Ponta Porã. O proprietário da lavoura de milho (região ABC), preocupado com o prejuízo, de imediato chamou um engenheiro agrícola, para determinar a área da região queimada. Para isso, o engenheiro utilizou alguns conhecimentos geométricos, depois de um drone capturar a imagem aérea da área. Determine quantos hectares foram queimados da região ABC e quantas sacas de milho se perderam se a produção estimada era de 200 sacas por hectare.

(Dados para resolução: 1 hectare = 10000 m²; seno 65° = 0,90; seno 77° = 0,97 e seno 38° = 0,61. Obs: para os resultados, descarte a parte decimal)

Figura da questão
  1. A573 hectares e 114 600 sacas de milho.
  2. B480 hectares e 96 000 sacas de milho.
  3. C362 hectares e 72 400 sacas de milho.
  4. D285 hectares e 57 000 sacas de milho.
  5. E177 hectares e 35 400 sacas de milho.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: um lado e dois ângulos: o terceiro ângulo, lei dos senos para outro lado e área por 12absen⁡θ\frac{1}{2}ab\operatorname{sen}\theta.

Resolução. B^=180°−38°−65°=77°\hat{B} = 180° - 38° - 65° = 77°.

Lei dos senos: ABsen⁡65°=ACsen⁡77°⇒AB=4500⋅0,900,97≈4175\dfrac{AB}{\operatorname{sen}65°} = \dfrac{AC}{\operatorname{sen}77°} \Rightarrow AB = \dfrac{4500 \cdot 0{,}90}{0{,}97} \approx 4175 m.

Área: 12⋅4500⋅4175⋅sen⁡38°≈12⋅4500⋅4175⋅0,61≈5 730 000\dfrac{1}{2} \cdot 4500 \cdot 4175 \cdot \operatorname{sen}38° \approx \dfrac{1}{2} \cdot 4500 \cdot 4175 \cdot 0{,}61 \approx 5\,730\,000 m² =573= 573 ha.

Sacas: 573⋅200=114 600573 \cdot 200 = 114\,600.

Onde a galera erra: usar na área um ângulo que não está entre os dois lados escolhidos.

Leve para a prova: lei dos senos para achar lados; área =12absen⁡θ= \frac{1}{2}ab\operatorname{sen}\theta com o ângulo entre aa e bb.

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